□恒天財富研究中心 公募研究部 李洋

　　隨著市場的震蕩調(diào)整，投資者對于基金定投的熱情有所升溫。但基金定投并非穩(wěn)賺不賠，贖回時點、市場情況都會影響基金定投收益。本文在厘清基金定投盈虧不等式的基礎(chǔ)上，通過研究我國A股股票指數(shù)的歷史走勢來模擬不同市場環(huán)境下基金定投的投資收益，結(jié)合測算結(jié)果驗證該不等式在我國市場是否適用。

　　定投可有效規(guī)避“擇時”難題

　　基金定投是基金定期定額投資的簡稱，是常見的基金投資方式，指在一定的投資期間內(nèi)，投資者在固定時間投資固定金額于同一只基金產(chǎn)品。只要投資人與基金公司或者代銷機構(gòu)約定每隔一段固定的時間（通常為一個月）從其賬戶中劃出固定的金額來投資基金即可。2015年6月以來，市場行情振幅顯著加大，步入2016年，首個交易周更是兩日觸發(fā)“熔斷”而提前收盤，在這種行情下，大多數(shù)投資者無所適從。對投資者來說，判斷是否進(jìn)入可投資區(qū)域的重要性大于判斷市場底部，因為判斷市場底部與判斷市場頂部一樣困難，這超出絕大多數(shù)市場參與者的能力范圍。個人投資者擇時是非常困難的，從歷史經(jīng)驗來看，大部分投資者屬于“反向”擇時，往往是“買在高點，賣在低點”，造成了投資收益的不理想。即便是在顯著牛市或熊市中投資風(fēng)險也很巨大，通常行情過半甚至接近完成時趨勢才會被廣泛確認(rèn)，此時牛市最豐厚的收益已然錯過，而熊市猛烈下跌已將投資者深陷其中。采用基金定投做長期投資，可有效規(guī)避“擇時”的難題，其投資方式能夠較好地分散投資風(fēng)險，具有聚少成多的理財功能。不論市場行情如何波動，每個月固定由銀行自動扣款，自動按基金凈值買入基金份額，這種機械化操作帶來了投資的簡便性，同時也能夠降低主觀操作風(fēng)險，已經(jīng)被廣大投資者普遍接受。

　　但是，我們也要看到部分投資者在選擇基金定投一段時間后仍然虧損，沒有取得任何投資回報。影響基金定投的主要因素究竟為何？投資時機還是市場環(huán)境？是不是只要延長投資期限，定投任意一只基金都一定可以取得正的投資回報呢？在解答這些問題之前，筆者先推導(dǎo)基金定投與一次性全部投資的收益表達(dá)式。

　　基金投資收益表達(dá)式推導(dǎo)

　　我們假設(shè)某投資者可以選擇兩種投資方式：定投基金A和一次投資購買基金A。定投方式下：每月月初投入5000元，投入T期，投入總成本5000×T；一次投資方式下：一次投入5000×T。下面我們分別分析兩種方式下的收益情況。需要注意的是，為了分析方便，我們不考慮每次申購和贖回的費用，也不考慮資金的時間價值，而是用最簡單易懂的模型來分析兩種方式下的收益情況。

　?。?）基金定投收益

　　我們假定某投資者定投基金A，每月最后一個交易日進(jìn)行申購，定投金額為每期投入5000元，一共投入T期，T期后全部贖回，此項投資結(jié)束。

　　因此，在投資了T期之后，投資者一共擁有的基金份額N定投的表示如下：

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　　其中Ni是第i期申購所得的基金份額數(shù)；NAVi為第期申購基金時基金A的凈值。

　　因此在T時刻，投資者持有基金A的總價值可以表示為：

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　　而經(jīng)過T期的投入之后，投資者的總成本是C=5000×T

　　因此，投資者投資基金A的收益r定投可以表示為：

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　　如上所示，公式①即為基金定投的收益率。需要注意的是，這里的收益率是不考慮申購贖回費用以及資金的時間價值簡單計算出來的收益率。但是這一收益率具有很好的代表性，目前很多銀行公布的定投收益率都是據(jù)此簡單計算得出的。

　?。?）一次性投資基金收益

　　假設(shè)投資者在期初的時候一次投資5000×T元購買基金A，并在T期后贖回，此時該項投資結(jié)束。

　　那么此時投資者所購買的基金份額N一次投資表示如下：

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　　T期后贖回的基金價值表示為V＝NAVT×N一次投資：

　　因此，投資者投資基金A的收益r一次投資可以表示為：

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　　公式②表示投資者一次性投資C＝5000×T的收益率，此時一次投資的收益率就是基金期末的凈值和期初凈值的比。此處收益率同樣是不考慮申購贖回費用以及資金的時間價值簡單計算出來的收益率。

　　進(jìn)入時點的基金凈值

　　是決定兩種投資方式優(yōu)劣的重要因素

　　（1）均值不等式原理與運用

　　由均值不等式的一般形式：

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　　即，如果基金的期末凈值大于投資期內(nèi)的凈值平均值時，那么進(jìn)行基金定投將取得正收益。此處的凈值平均值NAV可以理解為投資期內(nèi)投資者的平均成本，期末的凈值NAVT理解為停止投資決定贖回時得到的單位凈值。

　　由此可見，投資者在進(jìn)行基金定投時，對于基金贖回時點的選擇較申購時點而言更加重要。隨著投資期的拉長，進(jìn)入時點的基金凈值對凈值平均值的影響減弱，而不論投資期的長短和投資期內(nèi)市場環(huán)境如何變化，基金的期末凈值始終對定投基金的收益產(chǎn)生較大影響。

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　　即當(dāng)初始投資基金凈值NAV1大于投資期內(nèi)的基金凈值平均值NAV時，定投的收益大于一次投資的收益，因此影響基金投資收益率的因素就只剩投資成本。所以若一次投資的平均成本NAV1大于定投時的平均成本NAV，定投的收益將會大于一次投資的收益。

　　在對基金定投和一次投資的收益進(jìn)行比較時，進(jìn)入時點的基金凈值NAV1起到了很重要的作用。假定進(jìn)入之后市場開始震蕩上升，那么隨著投資期的拉長，定投的平均成本NAV越來越高，而一次投資的成本NAV1固定不變，且處于低位。此時的定投收益顯著低于一次投資的收益。反之，若市場開始震蕩下跌，那么隨著投資期的拉長，定投的平均成本NAV越來越低，而一次投資的成本NAV1固定不變，且處于高位。此時的定投收益顯著高于一次投資的收益。因此，進(jìn)入時點的基金凈值NAV1是決定兩種投資方式誰更能獲益的重要因素。

　　實證檢驗

　?。?）數(shù)據(jù)處理與準(zhǔn)備

　　為了驗證前述結(jié)論在我國應(yīng)用的適應(yīng)性，我們選擇上證綜指的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行實證檢驗。對1995年1月到2006年1月（共253個月）的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗，我們將這一時間段內(nèi)的數(shù)據(jù)劃分為4個不同的區(qū)間，來模擬不同市場環(huán)境下的不同投資方式的基金投資收益，并驗證前面的數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)論。

　　我們將1995年1月到2006年1月（共253個月）的數(shù)據(jù)分為4個階段，分別考察在各個階段內(nèi)的定投收益和固定收益情況。這四個階段分別是：

　　階段1：1995年1月-2001年8月，震蕩向上；

　　階段2：2001年9月—2007年1月，先跌后升；

　　階段3：2007年11月-2008年11月，持續(xù)下跌；

　　階段4：2008年12月-2014年7月，先升后跌；

　　如下圖3所示，我們通過劃分四個階段，找到了四種不同特征的市場環(huán)境，“震蕩上升”、“先跌后升”、“持續(xù)下跌”、“先升后跌”，通過細(xì)分時間區(qū)間，我們可以更加清晰地測算在不同市場環(huán)境下的定投和一次投資的收益狀況。

　　圖1： 上證綜指歷史走勢

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　　數(shù)據(jù)來源：wind恒天財富研究中心注：數(shù)據(jù)截止日：2016年1月14日

　?。?）實證檢驗

　　檢驗區(qū)間——先跌后升，微笑曲線

　　我們首先對第二個區(qū)間2001年9月-2007年1月的上證綜指進(jìn)行檢驗，在這一區(qū)間內(nèi)上證綜指先下跌后上升，指數(shù)變化呈微笑曲線。在此期間，基金凈值筑底為定投的投資者降低平均成本NAV創(chuàng)造了機會。將指數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化之后，我們可以得到如下結(jié)果：

　　表1： 實證驗證收益結(jié)論

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　　數(shù)據(jù)來源：wind恒天財富研究中心注：假設(shè)2001.9基金凈值NAV1=1

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　　即，在此投資區(qū)間內(nèi)NAVt>NAV，此時指數(shù)模擬基金定投投資收益>1，即可以通過基金定投獲利。恰好驗證了結(jié)論①。在正微笑曲線周期這種市場環(huán)境下，市場指數(shù)經(jīng)歷過觸底反彈，因此會降低購買定投基金的平均成本，使其小于退出時的收益NAVt，因而購買定投基金可以獲得收益。

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　　即，在此投資區(qū)間內(nèi)結(jié)論②的假設(shè)條件滿足，經(jīng)過測算結(jié)論r定投>r一次投資成立。當(dāng)一次投資購買基金的平均成本NAV1大于基金定投的平均成本NAV時，定投購買基金比一次投資購買基金將取得更高的投資收益。

　　類似的，可以檢驗其他三種市場環(huán)境下結(jié)論①與結(jié)論②的適用性，檢驗結(jié)果如下表所示：

　　表2： 不同市場環(huán)境下的測算結(jié)果

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　　數(shù)據(jù)來源：wind恒天財富研究中心注：假設(shè)區(qū)間起始日基金凈值NAV1=1

　　通過測算我們發(fā)現(xiàn)，在四種不同的市場環(huán)境下，前述結(jié)論①與結(jié)論②均得到了驗證。即只要滿足基金的期末凈值NAV1大于投資期內(nèi)的凈值平均值NAV時，那么進(jìn)行基金定投將取得正收益。當(dāng)初始投資基金凈值大于投資期內(nèi)的基金凈值平均值時，定投的收益大于一次投資的收益。

　　值得一提的是，雖然我們對上證指數(shù)截取了四個不同的區(qū)間進(jìn)行測算與分析，但市場是不斷變化的，不能涵蓋所有市場環(huán)境。對于個人投資者而言，準(zhǔn)確把握市場走勢與判斷市場處于何種區(qū)間難度較大。就當(dāng)前的市場環(huán)境而言，從前期高點3684點下跌到2867點，已經(jīng)半月有余，跌幅達(dá)到22.17%。但是從基本面情況來看，導(dǎo)致市場調(diào)整的負(fù)面因素已經(jīng)有所緩和，熔斷機制已經(jīng)暫停，人民幣貶值速度在央行干預(yù)下也趨于平緩，市場估值水平已經(jīng)呈現(xiàn)了較高的安全邊際，相信中國股市長期向好的趨勢并未發(fā)生改變。